Un número perfecto. 7) La Alhambra y las teseladas

Es este capítulo vamos a relacionar entre sí tres cosas tan aparentemente poco conectadas como la Alhambra de Granada, el artista Maurtis Cornelis Escher y las matemáticas.

Es necesario comenzar sabiendo que para cubrir un plano necesitamos figuras de dos dimensiones. Teniendo esto en mente, los únicos polígonos que pueden cubrir a otro en un plano son el triángulo y el cuadrilátero. Sin embargo, la figura más eficiente para cubrir una superficie es el hexágono regular.

Esto se conoce como teselar: un polígono tesela el plano si podemos rellenar completamente el plano (es decir, sin que queden huecos) con copias de dicho polígono que no se superpongan entre sí.

La naturaleza ya ha empleado esta solución en múltiples situaciones, siendo quizás la más conocida la del uso de estas figuras geométricas por las abejas para construir sus panales.

¿Qué relación tiene esto con la Alhambra de Granada?

Lo primero que hemos de saber es que el arte musulmán tiene prohibido representar seres vivos, por lo que a la hora de decorar el palacio real de Muhammad ibn Nasr, primer monarca del reino nazarí de Granada, los artistas emplearon una profusión de teselas y dibujos geométricos.

En 1910, Ludwig Bieberbach demostró que el número de formas diferentes que hay para rellenar un plano con teselas es de 17. Se trata de un problema de cristalografía. Y si bien no tenemos constancia de que los artistas musulmanes conocieran esta hecho, lo cierto es que la Alhambra es el único edificio construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos.

(Puedes aprender más de esto visitando este enlace: http://www.alhambra-patronato.es/elblogdelmuseo/index.php/geometria-matematica-alicatados/)

Al igual que pasó con la belleza «oculta» de la Alhambra, que no fue valorada en su justa medida hasta su total «compresión»; Maurits Cornelis Escher sorprendió a todos con unas obras donde experimentó con diversos métodos de representar (en dibujos de dos o tres dimensiones) espacios paradójicos mediante figuras imposibles, ciclos, metamorfosis. Asimismo, destacaron sus trabajos sobre la estructura de la superficie y la partición regular del plano (es decir, los patrones que rellenan el plano o teselado, como hemos visto con la Alhambra).

Escher supo, como nadie, unir dos mundos: la innovación artística con teselaciones que van cambiando de forma, con vida propia; y la innovación científica, gracias a conceptos como la metamorfosis, la cinta de Moebius, o las lentes convexas reflexivas.

Puedes ver sus obras aquí: https://www.wikiart.org/es/m-c-escher

Finalmente solo queda que nos fascinemos con las matemáticas.

Actualmente hay 15 pentágonos irregulares que sirven para teselar un plano, el último de ellos descrito hace tan solo cuatro años, tras una búsqueda que comenzó en 1918 con Karl Reinhart.

Lo bonito de este tema es que no se ha demostrado que no haya más, es decir, estamos ante un problema abierto. De hecho, las sospechas apuntan a que esta clasificación todavía está incompleta ya que habría más tipos de pentágonos esencialmente distintos a estos 15 que también pueden teselar el plano.

Te recomiendo la lectura de esta anotación: https://www.gaussianos.com/descubierto-un-nuevo-pentagono-que-tesela-el-plano/

Las matemáticas y el arte han estado «cogidas» de la mano desde siempre. Del mismo modo, el arte ha servido en ocasiones como estímulo para la investigación matemática. 

Por eso me planteo, en relación con el debate mantenido en los capítulos anteriores, ¿es posible que el sentido artístico, la armonía, el gusto por una obra de arte simétrica, tenga alguna relación con nuestra mente analítica? Es decir, ¿es posible que si vemos una representación artística con pinceladas matemáticas nos pueda parecer más «bonita» o más estética?