Un número perfecto. 8) Asumir el cero no es fácil. 9) Crecer más que nadie y la exponencial

Bienvenidos queridos e-tertulianos
Me alegra que os apetezca pasar por las #TertuliasCiencia hasta en agosto.

Me corresponde resumir dos capítulos muy diferentes pero que me han vuelto a sorprender gratamente, buen trabajo Santiago García.

El capítulo 8 trata de hacernos ver la importancia del cero. ¿El cero importa? ¿Seguro?

Comienza con la analogía perfectamente cuadrada por nuestros ingenieros, esos que nos indican cuándo hay que comenzar un libro para que pasen estas cosas. La llegada a la Luna hace 50 años en esta misma semana.
Neil y Buzz, los famosos, dejaron a Michael Colins en la nave dispuesto a solucionar cualquier problema sobrevenido. El necesario Michael, el que volvió con las suelas limpias, nos da una idea de la necesidad del cero como piloto delas matemáticas.

Venga, vamos a empezar con el numerito.
Cero, nada, no hay, ¿para qué representarlo?
Pues, sí, se va complicando.
Los romanos no lo tenían, no hay año 0, lo que me sorprendió mucho cuando me enteré. De ahí que me tome en serio lo de la dificultad. Aquí acierta de pleno el escritor al dejar caer que para los niños le es fácil de asumir pero no para los mayores.
Nuestro sistema decimal se apoya en él. Nos sirve para añadir cifras y que los números crezcan en orden, nos simplifica mucho los cálculos. El autor nos lo refuerza con el intento de multiplicar en números romanos.
Aquí os voy a hacer recordar la época de estudiantes. Cuando ibas a acabar el último tema de 30 folios e ibas por el 20. Te faltaban 10, no eran 11. Ahí estaba el cero ocupando una posición que con la resta no habías controlado.

Los Mayas ya lo representaron los primeros, los europeos tuvimos que esperar a Ptolomeo para hacerlo y a Fibonacci para popularizarlo (a partir de conocimientos indios y árabes) como número frente a la ausencia que denotaba en esos momentos. El cambio de visión matemática que aporta el cero empujado por un personaje que defendió no cambiar de modelo en el sistema solar, muy curioso.

Como el cero es todavía más importante que llegar a la Luna, Santi nos lo relaciona con el modelo Kübler-Ross sobre las etapas del duelo.
Vamos con las etapas aplicadas a nuestro personaje principal:
Negación, no existe el cero, ni los números negativos. Es que sois unos locos, con lo bien que estábamos los matemáticos. Ya se conocía casi todo y os ponéis modernos.

Ira, venga aceptamos que cero es neutro para la suma. Ahora voy con la mulitpi... ¿Atractor absoluto? A la p... mier..
Negociación, vale, podemos verlo como el equilibrio entre tener y deber. Lo aceptamos como número.
Depresión, ¿y si divido algo entre cero? ¿Otra vez me la has liado?
Aceptación, ale, pasa y haz lo que quieras.

Finaliza el capítulo con el Teorema fundamental de la numeración que no dice que cada número se escribe de forma única en cada base. El ejemplo del 69 no lo termino de pillar. En octal sería 105, mientras que por el lado sexual no veo la importancia de tener un dedo más o menos.

Reto 1:
De esta parte os invito a comentar si érais concientes de la dificultad implícita en el concepto de 0

El capítulo 9 versa sobre funciones y crecimiento siendo el hilo conductor el amor. No me extraña, entre viajes y escribir el libro ya te tiene que querer Nuria para seguir contigo.

Comienza hablando del duelo Leibniz / Newton, la Controversia del Cálculo.
Gottfried publicó sus descubrimientos e Isaac dijo que él ya lo utilizaba antes, pero no lo había publicado. Mira al revés que hizo con Hooke.
Finalmente ambos han quedado como referentes en su campo Calculus / Principia.
Entrando en harina recordamos las definiciones antaño tan importantes de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
Y ya blanquecinos vamos a comparar las variaciones de las funciones con la evolución del amor en pareja.
La derivada de la función nos da la pendiente y parece más interesante que ésta aumente y cuanto más mejor para que nos queramos cada vez más. Esto confirma a quién va dedicado el capítulo, truhán. Pero la realidad dominada por la química (moléculas y envejecimiento, en el sentido de madurez) no es tan optimista.

Según el tipo de función:
Constante, no hay aumento
Recta, siempre aumenta igual
Polinomio, con buenas subidas pero también bajadas
Raíz y logaritmo, aumento cada vez menor. Con eso ya nos conformaríamos.
Seno y coseno, todo el tiempo subiendo y bajando. No, por Dios, que acabe pronto.
Exponencial, cada vez crece más. El ideal... para morir de amor

Terminamos con unos ejemplos del uso de las exponenciales en dataciones isotópicas o crecimientos de poblaciones de bacterias. Y la Ley de Moore con su límite de aplicación en la computación cuántica.

Reto 2:
Si bien la enseñanza siempre va detrás de los conocimientos, por definición, también es cierto que los cambios son demasiado lentos. Yo utilicé tablas para calcular logaritmos o senos ciando ya había calculadoras. Hoy prohibimos en clase los móviles que es el aparato con el más tiempo pasan los alumnos (y los profes... y los demás). ¿Qué os parece? ¿Innovación?

Os dejo el último informe Horizon  para ojear lo que se espera de la tecnología en la educación. Y la comparativa entre lo esperado cada año del 2004 al 2018 para comprobar la velocidad real.

Feliz semana

Un número perfecto. 7) La Alhambra y las teseladas

Es este capítulo vamos a relacionar entre sí tres cosas tan aparentemente poco conectadas como la Alhambra de Granada, el artista Maurtis Cornelis Escher y las matemáticas.

Es necesario comenzar sabiendo que para cubrir un plano necesitamos figuras de dos dimensiones. Teniendo esto en mente, los únicos polígonos que pueden cubrir a otro en un plano son el triángulo y el cuadrilátero. Sin embargo, la figura más eficiente para cubrir una superficie es el hexágono regular.

Esto se conoce como teselar: un polígono tesela el plano si podemos rellenar completamente el plano (es decir, sin que queden huecos) con copias de dicho polígono que no se superpongan entre sí.

La naturaleza ya ha empleado esta solución en múltiples situaciones, siendo quizás la más conocida la del uso de estas figuras geométricas por las abejas para construir sus panales.

¿Qué relación tiene esto con la Alhambra de Granada?

Lo primero que hemos de saber es que el arte musulmán tiene prohibido representar seres vivos, por lo que a la hora de decorar el palacio real de Muhammad ibn Nasr, primer monarca del reino nazarí de Granada, los artistas emplearon una profusión de teselas y dibujos geométricos.

En 1910, Ludwig Bieberbach demostró que el número de formas diferentes que hay para rellenar un plano con teselas es de 17. Se trata de un problema de cristalografía. Y si bien no tenemos constancia de que los artistas musulmanes conocieran esta hecho, lo cierto es que la Alhambra es el único edificio construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos.

(Puedes aprender más de esto visitando este enlace: http://www.alhambra-patronato.es/elblogdelmuseo/index.php/geometria-matematica-alicatados/)

Al igual que pasó con la belleza «oculta» de la Alhambra, que no fue valorada en su justa medida hasta su total «compresión»; Maurits Cornelis Escher sorprendió a todos con unas obras donde experimentó con diversos métodos de representar (en dibujos de dos o tres dimensiones) espacios paradójicos mediante figuras imposibles, ciclos, metamorfosis. Asimismo, destacaron sus trabajos sobre la estructura de la superficie y la partición regular del plano (es decir, los patrones que rellenan el plano o teselado, como hemos visto con la Alhambra).

Escher supo, como nadie, unir dos mundos: la innovación artística con teselaciones que van cambiando de forma, con vida propia; y la innovación científica, gracias a conceptos como la metamorfosis, la cinta de Moebius, o las lentes convexas reflexivas.

Puedes ver sus obras aquí: https://www.wikiart.org/es/m-c-escher

Finalmente solo queda que nos fascinemos con las matemáticas.

Actualmente hay 15 pentágonos irregulares que sirven para teselar un plano, el último de ellos descrito hace tan solo cuatro años, tras una búsqueda que comenzó en 1918 con Karl Reinhart.

Lo bonito de este tema es que no se ha demostrado que no haya más, es decir, estamos ante un problema abierto. De hecho, las sospechas apuntan a que esta clasificación todavía está incompleta ya que habría más tipos de pentágonos esencialmente distintos a estos 15 que también pueden teselar el plano.

Te recomiendo la lectura de esta anotación: https://www.gaussianos.com/descubierto-un-nuevo-pentagono-que-tesela-el-plano/

Las matemáticas y el arte han estado «cogidas» de la mano desde siempre. Del mismo modo, el arte ha servido en ocasiones como estímulo para la investigación matemática. 

Por eso me planteo, en relación con el debate mantenido en los capítulos anteriores, ¿es posible que el sentido artístico, la armonía, el gusto por una obra de arte simétrica, tenga alguna relación con nuestra mente analítica? Es decir, ¿es posible que si vemos una representación artística con pinceladas matemáticas nos pueda parecer más «bonita» o más estética?

Un número perfecto. 5) Hasta mi ombligo usa el número Phi. 6) Raíz de 2 y Pitágoras “el cachondo”

Buenas a tod@s. Arrancamos otro fin de semana con otro par de lecciones sobre Historia y curiosidades de las matemáticas de manos del autor @santigarciacc. Esta vez le toca el número a dos de los grandes números irracionales, con el permiso de “Pi, el magnánimo “. Así que pongamos en funcionamiento la razón para hablar de irracionales. ¡Al turrón!

Capítulo 5) Hasta mi ombligo usa el número Phi.

El primero de esos dos capítulos está dedicado al número Phi, aka número de oro, razón áurea, proporción divina,… un número con ego un poco desbordado, jajaja.

De la misma manera que pi reside en todos los círculos, el pentágono es la guarida de este número. Phi hace referencia a una propoción entre dos segmentos de una misma recta, tal que la proporción entre la longitud total y el segmento mayor es igual a la proporción entre el segmento mayor y el segmento menor. Un poco trabalingüístico pero, como casi siempre, una imagen vale más que mil palabras.

El autor trata de describir al lector los porqués de atribuir a este número sus cualidades divina y áurea. A saber, un número que es único, que es infinito (irracional) y además trascendente, como Dios, es un número divino.  Una anécdota histórica que, quizás por ser graciosa, ha perdurado en el tiempo, igual que ocurrió con la “partícula divina" o "partícula de Dios”.

Phi además esta muy presente en la naturaleza (la obra de Dios), reforzando su divinidad. Resulta curioso como, a diferencia de Pi, El número divino surge de una sucesión tan célebre y tan presente en la naturaleza como la sucesión de Fibonacci. El cociente entre un número de esta sucesión y el número inmediatamente anterior se aproxima cada vez más a este ideal divino, que supone ser Phi.

Sucesión de Fibonacci en una chimenea de Turku (Finlandia)

Su carácter áureo viene, sin embargo de ser una proporción muy utilizada en el arte, la obra hecha por el hombre. Phidias, arquitecto del Panteón griego, utiliza en su diseño esta proporción. De hecho Phi debe su nombre al arquitecto. Da Vinci la utiliza en la Gioconda y también en el hombre de Vitruvio para construir un hombre perfecto utilizando proporciones áureas. Son obras destacadas por la humanidad con un consenso de belleza, hasta el punto de que hemos hecho responsable a Phi de dicha belleza. Aquello que siga una proporción Phi, es bello…. Y Phi es la proporción de oro. Aquí dejo un vídeo breve sobre el poder de Phi, ya sea en la obra de Dios (Naturaleza) o en la del Hombre (Arte).

Y es por aquí por donde me gustaría arrancar el debate. Ya que el autor es un poco crítico con eso, y yo estoy de acuerdo. A veces nos volvemos un poco locos “encontrando” la proporción áurea donde quizás no esté, forzando un poco la “Cuadratura del Círculo”. Quizás la proporción áurea no sea realmente onmipresente y, por tanto, no sea tan divina. ¿Qué pensáis?

Y una vez horadada la divinidad de Phi, empleémonos con su carácter áureo. ¿Debe correr este número con la belleza del universo? ¿Es la belleza algo innato e invariable como un número irracional o cada persona tiene su belleza? Todo aquello en lo que encontramos el número Phi, ¿es bello por contener el número Phi? ¿O tal vez nosotros reforzamos su belleza por el hecho de cumplir esta proporción? A fin de cuentas, ¿qué es la belleza? Evidentemente no es algo fijo, definido, constante y universal como pueda ser la razón entre el diámetro y el perímetro de todos los círculos. 

Proporción áurea en el Hombre de Vitruvio (http://jman1.blogspot.com/2013/11/proporcion-aurea-el-hombre-de-vitruvio.html)

Parece ser que la belleza es una sensación que está muy relacionado con la simetría. El hombre siente que es bello aquello que es simétrico. Buscamos cara simétricas, casas simétricas y hasta teorías científicas que sean simétricas. Por otro lado, la simetría y la proporcionalidad sí van cogidas de la mano. ¿Es posible que haya en la naturaleza o en el arte objetos que sean simétricos y proporcionales entre sus partes, sin que exista la proporción áurea, y aún así nos parezcan bellos? Yo creo que es posible, e incluso altamente probable.

Capítulo 6) Raíz de 2 y Pitágoras “el cachondo”.

Este capítulo está dedicado por completo a dos figuras: La figura humana de Pitágoras, y la figura geométrica del triángulo. Un binomio indivisible.

Tras una breve introducción al papel crucial de Pitágoras de Samos y su Escuela Pitagórica que cultivaba el conocimiento y la espiritualidad, el autor del libro lleva al lector a la figura más simple en la geometría plana de Euclides: el triángulo. Pensar en Pitágoras es pensar en triángulos, es pensar en catetos e hipotenusas. Pitágoras y uno de los teoremas más conocidos y con más demostraciones diferentes. Dejo por aquí otro video-demostración que vi hace tiempo y me pareció muy gráfico sobre la demostración del teorema de Pitágoras.

Si del círculo surge el número pi, y del pentágono o la recta surge el número phi. Parece más o menos claro que una figura como el triángulo también guarda uno de sus números irracionales, infinitos y trascendentes de las matemáticas. En este caso hablamos de la raíz de 2 (la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lado 1). Aunque, todo hay que decirlo, raíz de 2 siempre ha sido menos divino y menos aureo. Hasta en los números irracionales hay clases, jajaja.

Los triángulos siempre han sido mágicos. Se usaban en el antiguo Egipto para la agrimensión del terreno y de ellos surge la trigonometría que sirve para medir la altura de las pirámides de Egipto o para demostrar que la Tierra es esférica. Eratóstenes sólo necesitó de un palo y la ciencia que esconden los triángulos para calcular el radio de la Tierra hace 23 siglos. Aquí lo explica Carl Sagan, otro flamante capitán del barco de la Historia.

Con varios centros y otros teoremas que orbitan a su alrededor, los triángulos y la Escuela Pitagórica constituyen uno de los ejes más importantes de la Historia de las Matemáticas. Era evidente que Pitágoras de Samos tendría un papel central en este libro. Todo un capitán de barco.

Uno de los puntos de debate que surgen en este capítulo es el papel místico que siempre ha rodeado a la Escuela de Pitágoras, con esa conjugación del mundo espiritual con el mundo de la Ciencia. ¿Creéis que esto surgió en un momento de la historia irrepetible? Hoy el día el mundo de la Ciencia y la Espiritualidad (no confundir con esoterismos ni pseudociencias, o nos arriesgamos a un tirón de orejas pitagórico) están muy desvinculados. 

¿Deberíamos tratar de volver a reunir estas dos facetas de nuestra relación con el universo? Existen grandes científicos que han tenido una parte espiritual importante, relacionada con la música como los ejemplos de Plank o Einstein. ¿Puedo esto mejorar la manera de entender, explicar y predecir los fenómenos de la naturaleza que es el fin último de la Ciencia? ¿Volveremos a ver una Escuela Pitagórica y todo lo que ello aportó?

Estaré encantado de leer y aprender de todos vuestros comentarios. Muy feliz semana.

Un número perfecto. 3) Los números primos y los bichos. 4) Los ríos y el número Pi

La manera en que Santi nos va enseñando matemáticas es humanizándola, como si se tratase de personas. Y eso me gusta.

Empieza el capítulo 3 describiendo a los números primos con características de personalidades humanas (egoístas, avariciosos, maleducados, etc.). Y todo porque solo se parten por ellos mismos o el 1.

Nos hace una pregunta algo vergonzosa: ¿sabemos dividir? Bien… he de reconocer que ahora sí, pero que lo tuve que refrescar cuando mi hijo estaba estudiándolo. ¿Y vosotros? ;)

Nos explica que para dividir se suele usar el método de división larga o el de galera. Y para visualizar este último método nos explica “la prueba del nueve”, que se utilizaba para ver si había un error en la operación.

Pasa después a cómo se comprueba que un número es primo: si no es divisible por 2, quiere decir que no lo es por ningún número par; pero ocurre también con el resto de números (si no es divisible por ese número tampoco lo es por sus múltiplos). Y así es como Eratóstenes hizo una criba de números y sobre ello obtuvimos un teorema fundamental: cualquier número natural mayor que 1 tiene una descomposición única de factores primos. Con lo que vemos al número 1 separado del resto y negándole la propiedad de ser primo.

Y la razón por la que relaciona a los números primos y a los bichos (en el nombre del capítulo) es porque existen dos tipos de cigarras cuyas larvas pasan un tiempo muy concreto enterradas en el suelo. En una son 13 años y en la otra 17 años, ambos números primos. Con lo que de esta manera les es más fácil librarse de los parásitos que suelen aparecer cíclicamente.

En el último párrafo Santi nos deja un frase, que aunque preciosa, me apetece cuestionar: “Lo único seguro que permanecerá aquí son las Matemáticas...”. Esta sentencia presupone que las matemáticas existen independientemente de los seres que las utilizamos. ¿Estáis de acuerdo?

Y entramos en el capítulo 4, donde Santi nos habla del número Pi, al cual le asigna características emocionales por los siguientes motivos:

1. Sencillez: El número Pi está en los círculos y allí lo descubrieron. Aunque para mí, que el número Pi sea un número irracional (por lo que no se puede calcular exactamente) es muchas cosas, pero no sencillo XD.
2. No le importa el tamaño: Pues se define como la división entre el perímetro y el diámetro de cualquier círculo (tenga el tamaño que tenga).
3. Irracional y transcendente: Al ser irracional tiene infinitas cifras, pero no tiene un periodo; por lo que es imprevisible. Y trascendente, pues no se puede estudiar con una ecuación de números enteros.
4. Es motivador, inspirador, atractivo (ya estamos con características humanas XD): Debido a los intentos históricos en calcularlo exactamente. Primera referencia: 1900 a.C., que le da un valor de 28/34. Arquímedes: 250 a.C., que le da un valor de entre 3,1408 y 3,1452 (en el libro hay una tabla muy chula con la historia de la aproximación del número Pi).
5. No para de crecer: Pues, al ser infinito, siempre se puede descubrir algún decimal más. En 2016 se habían calculado 22.459.157.718.361 decimales.
6. Le gusta la montaña, el río y hasta el mar: Está en todas partes donde haya una curvatura. En la Física Cuántica, en la sinuosidad de los ríos y de los meandros (en geología, se encontró que la relación entre el doble de la longitud real del río y su longitud en línea recta tiende a Pi).

Y, siguiendo con cuestiones relacionadas a la que os he hecho antes (la del final del capítulo 3), ¿el número Pi realmente está en la naturaleza (o en la realidad)? ¿O nos lo encontramos al describir con matemáticas la realidad/naturaleza porque lo que hay son círculos? ¿Existe un círculo perfecto en la naturaleza/realidad (ideal a nivel platónico)?